Python 机器人运动学与轨迹规划代码解释¶

1. 概述¶

该 Python 脚本旨在实现一个特定类型并联机器人（基于提供的运动学公式推测）的正向和逆向运动学计算，并根据给定的 MATLAB 代码逻辑，生成一个圆形轨迹，并规划沿该轨迹的 S 曲线速度轮廓。最终，它会计算轨迹上每个点的关节变量，并提供可视化结果，包括运动曲线图和机器人姿态动画。

该脚本的主要目的是将一个 MATLAB 实现的轨迹规划任务转换为 Python 代码。

2. 导入库¶

脚本首先导入了必要的 Python 库：

NumPy (np): 用于高效的数值计算，特别是数组和矩阵操作。
SymPy (sp): 用于符号数学计算，主要在正向运动学中定义和求解方程组。
math: 提供基本的数学函数。
Matplotlib (plt): 用于数据可视化，包括绘制 2D 曲线图和 3D 机器人模型及轨迹。
time: 用于在动画中添加暂停。

import numpy as np
import sympy as sp
import math
import matplotlib.pyplot as plt
import time
sp.init_printing(use_unicode=True) # 启用 SymPy 的美观打印

3. 机器人参数 (`get_robot_params`)¶

这个函数定义并返回一个包含机器人几何尺寸参数的字典。这些参数是运动学计算的基础。

$a_{11}, a_{22}, a_{33}$: 移动平台上连接点到平台中心的距离。
$b_{11}, b_{22}, b_{33}$: 固定平台上连接点到平台中心的距离。
$e$: 中心柱的固定（不可伸缩）部分的长度。

def get_robot_params():
    return {
        'a11': 135.0, 'a22': 135.0, 'a33': 135.0,
        'b11': 570.0, 'b22': 320.0, 'b33': 320.0,
        'e': 345.0
    }

4. 位置逆解 (`inverse_kinematics`)¶

逆运动学（IK）解决的问题是：给定末端执行器（移动平台中心）期望的笛卡尔坐标 $x_p, y_p, z_p$，计算出机器人需要达到的关节变量。

输入:

$x_p, y_p, z_p$: 目标位置 (float)。
params: 包含机器人尺寸的字典。

输出: 一个包含计算结果的字典：

$q_1, q_2, q_3$: 计算得到的驱动杆“长度”(float)。注意: 根据代码中的公式，这可能不是物理连杆 $B_i$ 到 $A'_i$ 的直线距离，而是基于特定投影或定义的长度。
$q_4$: 中心柱的可变长度 (float)，即 $||r_p|| - e$。
$\theta_1, \theta_2$: 描述移动平台姿态的角度 (rad)。
$r_p$: 末端位置向量 $\begin{bmatrix} x_p \\ y_p \\ z_p \end{bmatrix}$ (NumPy 数组)。
$R_4$: 移动平台的旋转矩阵 (3x3 NumPy 数组)，描述了平台坐标系相对于固定坐标系的姿态。
$w_4$: 中心柱方向的单位向量 (3x1 NumPy 数组)，即 $r_p / ||r_p||$。
error: 错误信息字符串，如果无法求解则非空。

计算步骤:

计算 $r_p$ 及其模长 $||r_p||$。
检查目标点是否在固定中心柱长度 $e$ 范围内，如果是则不可达。
计算中心柱可变长度 $q_4 = ||r_p|| - e$。
根据 $x_p$ 和 $||r_p||$ 计算 $\theta_2 = \arcsin(x_p / ||r_p||)$。
根据 $y_p, z_p, ||r_p||, \theta_2$ 计算 $\theta_1 = \operatorname{arctan2}(-y_p / (||r_p||\cos\theta_2), z_p / (||r_p||\cos\theta_2))$，并处理 $\cos\theta_2 \approx 0$ 的情况。
使用 $\theta_1, \theta_2$ 构建旋转矩阵 $R_4$。
计算固定平台和移动平台的连接点向量 ($b_i$ 和 $a_i = R_4 a_{i0}$)。
计算中心柱方向向量 $w_4$。
根据代码中给出的特定公式计算 $q_1, q_2, q_3$： $$ q_i = || r_p - b_i + a_i - e w_4 || $$ 这对应于从 $B_i$ 指向 $A’_i$（移动平台连接点在固定坐标系中的绝对位置）的向量，再减去固定中心柱向量 $e w_4$ 后的模长。

5. 位置正解 (Forward Kinematics - FK)¶

正运动学解决的问题是：给定驱动关节的输入值 $q_1, q_2, q_3$（根据 IK 中的定义），计算末端执行器的位置 $x_p, y_p, z_p$ 和姿态 $\theta_1, \theta_2$。这通常比逆解更复杂，因为它涉及到求解非线性方程组。

5.1 符号设置与数值函数生成 (`define_symbolic_fk`)¶

此函数使用 SymPy 库来建立正解所需的数学模型。

输入:

params: 机器人参数。
$q_{1,in}, q_{2,in}, q_{3,in}$: 输入的驱动杆计算长度。

输出:

Func_sym: 包含三个符号约束方程 $F, G, H$ 的 SymPy 矩阵。这些方程基于机器人的闭环几何约束，将已知的 $q_{1,in}, q_{2,in}, q_{3,in}$ 与未知的 $q_4, \theta_1, \theta_2$ 联系起来。其形式为 $|| L_i ||^2 - q_{i,in}^2 = 0$，其中 $L_i = q_4 w_4 + a_i - b_i$。代码中直接使用了展开后的简化形式（经验证与 $||L_i||^2$ 定义一致）。
J_sym: $F, G, H$ 相对于未知变量 $X = [q_4, \theta_1, \theta_2]^T$ 的符号雅可比矩阵 $J = \frac{\partial(F,G,H)}{\partial X}$。
num_func, num_jac: 通过 sp.lambdify 将符号方程和雅可比矩阵转换为快速求值的 NumPy 函数。
X_sym: 包含符号变量 $[q_4, \theta_1, \theta_2]^T$ 的 SymPy 矩阵。

5.2 牛顿迭代求解器 (`forward_kinematics`)¶

此函数使用牛顿-拉弗森（Newton-Raphson）迭代法来数值求解由 define_symbolic_fk 建立的非线性方程组 $Func(X) = 0$。

输入:

$q_{1,in}, q_{2,in}, q_{3,in}$: 输入的驱动杆计算长度。
params: 机器人参数。
initial_guess: 对未知变量 $[q_4, \theta_1, \theta_2]$ 的初始猜测值。
max_iter, tolerance: 最大迭代次数和收敛容差。

输出: 一个包含结果的字典：

$x_{p,fk}, y_{p,fk}, z_{p,fk}$: 计算得到的末端位置。
$q_{4,k}, \theta_{1,k}, \theta_{2,k}$: 计算得到的最终 $q_4, \theta_1, \theta_2$ 值。
iterations: 实际迭代次数。
final_error_norm: 最终的方程误差范数 $||Func(X_k)||$。
converged: 是否收敛 (bool)。
error: 错误信息。

计算步骤:

获取数值计算函数 num_func 和 num_jac。
从初始猜测 $X_0$ 开始迭代。
在第 $k$ 次迭代： a. 计算当前 $X_k$ 下的函数值 $F_k = Func(X_k)$。 b. 检查误差 $||F_k||$ 是否小于容差，如果是则停止迭代。 c. 计算当前 $X_k$ 下的雅可比矩阵 $J_k = J(X_k)$。 d. 求解线性方程组 $J_k \Delta X = -F_k$ 得到步长 $\Delta X$。如果 $J_k$ 奇异则报错。 e. 更新解：$X_{k+1} = X_k + \Delta X$。
如果达到最大迭代次数仍未收敛，则报告失败。
如果收敛，使用最终得到的 $q_4, \theta_1, \theta_2$ 计算末端位置：$r_p = (e + q_4) w_4$，其中 $w_4$ 由 $\theta_1, \theta_2$ 确定。

6. 可视化函数 (`plot_robot`)¶

该函数使用 Matplotlib 在 3D 坐标系中绘制机器人的当前姿态。

输入:

ax: Matplotlib 的 3D 坐标轴对象。
$r_p$: 当前末端位置向量。
$R_4$: 当前移动平台的旋转矩阵。
params: 机器人参数。
title: 图表标题。

绘制内容:

计算所有关键点（原点 O, 固定平台连接点 $B_i$, 移动平台连接点 $A'_i$, 末端点 P, 中心柱顶端 E）在固定坐标系中的坐标。
绘制固定平台（灰色虚线三角形 $B_1B_2B_3$）。
绘制移动平台（蓝色实线三角形 $A'_1A'_2A'_3$）。
绘制物理驱动杆（红色实线 $B_iA'_i$）。
绘制中心柱（绿色线段 OE 和 EP，分别代表固定部分和可变部分）。
标记原点 O 和末端点 P。
设置坐标轴标签、标题、图例和大致范围，并尝试设置等比例轴。

7. S 曲线速度轮廓生成 (`s_velocity_motion`)¶

此函数用于生成沿路径的运动轮廓，即规划位移 $s(t)$、速度 $v(t)$ 和加速度 $a(t)$。

重要: 这个函数的实现严格复制了提供的 MATLAB 代码 Svelocity_motion 的逻辑，包括其独特的（可能非标准的）参数计算方法和分段函数公式。

输入:

vmax: 路径上的最大速度。
TA: 加速（或减速）阶段的总时间（用于推导 $a_{max}$ 和 $j_e$）。
sall: 要移动的总路径长度。
ts: 时间步长。

输出:

ac, vc, sc: 包含加速度、速度、位移值的 NumPy 数组。
time_vec: 对应的时间点数组。
params: 包含中间计算参数（如 $T_1..T_5, j_e, a_{max}, t_1..t_5$ 等）的字典。

计算逻辑:

根据 vmax 和 TA 计算 $a_{max} = vmax / TA$。
根据 MATLAB 代码逻辑设置 $T_1 = T_2 = T_4 = T_5 = TA$。
计算加加速度（Jerk） $j_e = a_{max} / T_1$。
根据 MATLAB 代码中的特定公式计算匀速阶段时间 $T_3 = (sall - 2 j_e T_1^3) / vmax$。如果 $T_3 < 0$，则打印警告并将 $T_3$ 设为 0。
计算各阶段的时间边界 $t_1, t_2, t_3, t_4, t_5$。
生成时间向量 time_vec。
初始化 ac, vc, sc 数组。
遍历时间向量中的每个时间点 $t$，根据 $t$ 所处的阶段（由 $t_1..t_5$ 界定），应用 MATLAB 代码片段中给出的分段公式计算瞬时的 $a(t), v(t), s(t)$。
函数结束时会检查最终位移是否接近 sall，并报告最终速度（根据 MATLAB 代码，最终速度可能不为零）。

8. 主程序 (`if name == "main":`)¶

这是脚本的执行入口。

流程:

参数设置: 获取机器人参数，并设置轨迹参数（圆半径 $r$, $v_{max}$, $T_A$, $t_s$, 总路径长度 $s_{all}$, Z 高度 z_level, Y 偏移 y_offset）。这些参数与 MATLAB 代码中的注释/值一致。
生成运动轮廓: 调用 s_velocity_motion 函数得到 $s(t), v(t), a(t)$ 曲线，并绘制这些曲线。
计算轨迹点和关节值 (IK 循环): a. 遍历由运动轮廓生成的时间点。 b. 对每个时间点 ntt： i. 计算当前沿圆弧的位移 $s_{current} = sc[ntt]$。 ii. 计算对应的圆弧角度 $\alpha = s_{current} / r - \pi/2$。 iii. 计算目标笛卡尔位置 $(x_p, y_p, z_p) = (r\cos\alpha, r\sin\alpha + y_{offset}, z_{level})$。 iv. 计算目标笛卡尔速度 $(v_{xp}, v_{yp}, v_{zp})$，使用链式法则，基于 $v(t)$。 v. 计算目标笛卡尔加速度 $(a_{xp}, a_{yp}, a_{zp})$，考虑切向加速度 $a(t)$ 和向心加速度 $v(t)^2 / r$。 vi. 调用 inverse_kinematics 函数计算该笛卡尔点对应的关节变量 $(q_1..q_4, \theta_1, \theta_2)$ 和机器人姿态 $(R_4, r_p)$。 vii. 存储计算结果，并处理可能的 IK 错误。
计算关节速度: 使用有限差分法（中心差分、前向/后向差分）根据计算出的关节位置序列 $q_1(t), q_2(t), q_3(t)$ 估算关节速度 $v_{q1}(t), v_{q2}(t), v_{q3}(t)$。
绘图: a. 绘制期望的 3D 笛卡尔轨迹（圆形）。 b. 绘制关节空间轨迹（关节位置 $q_i$ vs 时间，关节速度 $v_{qi}$ vs 时间）。
动画: a. 创建一个 3D 绘图窗口。 b. 遍历计算出的机器人姿态序列。 c. 在每一帧，调用 plot_robot 绘制机器人在该时刻的姿态。 d. 绘制已经过的轨迹路径。 e. 暂停一小段时间，然后更新到下一帧，形成动画效果。

9. 总结¶

该脚本成功地将 MATLAB 中的特定机器人运动学模型和轨迹规划逻辑转换为了 Python 实现。它利用 NumPy 进行数值计算，SymPy 处理正解中的符号方程，Matplotlib 进行结果可视化。核心在于 inverse_kinematics、forward_kinematics 和 s_velocity_motion 函数，以及将它们串联起来计算并展示圆形轨迹的主程序逻辑。需要注意的是 s_velocity_motion 函数是为了精确复制源 MATLAB 代码的行为而编写的，其内部参数推导可能与标准的运动规划理论有所不同。

Python 机器人运动学与轨迹规划代码解释¶

1. 概述¶

2. 导入库¶

3. 机器人参数 (get_robot_params)¶

4. 位置逆解 (inverse_kinematics)¶

5. 位置正解 (Forward Kinematics - FK)¶

5.1 符号设置与数值函数生成 (define_symbolic_fk)¶

5.2 牛顿迭代求解器 (forward_kinematics)¶

6. 可视化函数 (plot_robot)¶

7. S 曲线速度轮廓生成 (s_velocity_motion)¶

8. 主程序 (if __name__ == "__main__":)¶