第三次作业

推导两自由度串联机器人的刚体动力学方程

1. 系统描述与坐标系建立描述

2. 包含位置、速度、加速度、刚体动力学分析 （详细推导过程）

3. 阐述所建立的刚体动力学方程可用于哪些方面的研究

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两自由度串联机器人的系统描述与坐标系建立

系统描述

两自由度串联机器人通常由两个旋转关节组成，类似于人的手臂结构。每个关节通过电机驱动，可以旋转一定角度来改变机器人的末端执行器位置。

坐标系建立

1. 基坐标系 \( \{O_0\} \):

   • 原点位于机器人底座。

   • \( x_0 \) 轴沿机器人底座水平延伸。

   • \( y_0 \) 轴垂直向上。

2. 第一个关节坐标系 \( \{O_1\} \):

   • 原点位于第一个关节的旋转轴。

   • \( x_1 \) 轴与第一个连杆重合。

   • \( y_1 \) 轴垂直于 \( x_1 \) 轴。

3. 第二个关节坐标系 \( \{O_2\} \):

   • 原点位于第二个关节的旋转轴。

   • \( x_2 \) 轴与第二个连杆重合。

   • \( y_2 \) 轴垂直于 \( x_2 \) 轴。

关节参数

• 关节角度:

  • \( \theta_1 \): 第一个关节的旋转角度。

  • \( \theta_2 \): 第二个关节的旋转角度。

• 连杆长度:

  • \( L_1 \): 第一个连杆的长度。

  • \( L_2 \): 第二个连杆的长度。

位置描述

末端执行器的位置可以通过两个关节角度和连杆长度来表示：

\[\begin{split} \begin{align*} x &= L_1 \cdot \cos(\theta_1) + L_2 \cdot \cos(\theta_1 + \theta_2) \\ y &= L_1 \cdot \sin(\theta_1) + L_2 \cdot \sin(\theta_1 + \theta_2) \end{align*} \end{split}\]

这种坐标系和参数定义为后续的速度、加速度和动力学分析提供了基础。接下来，我们将详细推导速度和加速度。

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位置、速度、加速度及刚体动力学分析

位置描述

末端执行器的位置由关节角度和连杆长度决定：

\[\begin{split} \begin{align*} x_e &= L_1 \cdot \cos(\theta_1) + L_2 \cdot \cos(\theta_1 + \theta_2) \\ y_e &= L_1 \cdot \sin(\theta_1) + L_2 \cdot \sin(\theta_1 + \theta_2) \end{align*} \end{split}\]

速度分析

通过对位置公式对时间求导，得到速度公式：

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{x}_e &= -L_1 \cdot \sin(\theta_1) \cdot \dot{\theta}_1 - L_2 \cdot \sin(\theta_1 + \theta_2) \cdot (\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2) \\ \dot{y}_e &= L_1 \cdot \cos(\theta_1) \cdot \dot{\theta}_1 + L_2 \cdot \cos(\theta_1 + \theta_2) \cdot (\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2) \end{align*} \end{split}\]

加速度分析

对速度公式继续对时间求导，得到加速度公式：

\[\begin{split} \begin{align*} \ddot{x}_e &= -L_1 \cdot \cos(\theta_1) \cdot \dot{\theta}_1^2 - L_1 \cdot \sin(\theta_1) \cdot \ddot{\theta}_1 \\ &\quad - L_2 \cdot \cos(\theta_1 + \theta_2) \cdot (\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2)^2 - L_2 \cdot \sin(\theta_1 + \theta_2) \cdot (\ddot{\theta}_1 + \ddot{\theta}_2) \\ \ddot{y}_e &= -L_1 \cdot \sin(\theta_1) \cdot \dot{\theta}_1^2 + L_1 \cdot \cos(\theta_1) \cdot \ddot{\theta}_1 \\ &\quad - L_2 \cdot \sin(\theta_1 + \theta_2) \cdot (\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2)^2 + L_2 \cdot \cos(\theta_1 + \theta_2) \cdot (\ddot{\theta}_1 + \ddot{\theta}_2) \end{align*} \end{split}\]

刚体动力学分析

应用拉格朗日动力学方法，系统的动能和势能为：

• 动能 \( T \):

\[ T = \frac{1}{2} m_1 (\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2) + \frac{1}{2} m_2 (\dot{x}_e^2 + \dot{y}_e^2) \]

• 势能 \( V \):

\[ V = m_1 g y_1 + m_2 g y_e \]

使用拉格朗日方程：

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_i} = \tau_i \]

其中 \( L = T - V \) 为拉格朗日量，\( \tau_i \) 为关节力矩。

通过这些推导，我们可以得到机器人关节的动力学方程，用于控制和仿真。

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略了

4 加餐

推导两自由度串联机器人（RP、PR、PP型）的刚体动力学方程

1. RP型机器人（旋转-平移）

系统描述与坐标系建立

• 关节类型：第一个关节为旋转（R），第二个为平移（P）。

• 坐标系：

  • 基坐标系 \( \{O_0\} \)：原点在底座，\( x_0 \)轴水平，\( y_0 \)轴垂直。

  • 第一个关节坐标系 \( \{O_1\} \)：原点与基座重合，绕\( z_0 \)轴旋转\( \theta_1 \)。

  • 第二个关节坐标系 \( \{O_2\} \)：沿平移方向移动，原点在平移后的位置\( d_2 \)处。

位置描述

末端执行器位置：

\[\begin{split} \begin{align*} x_e &= d_2 \cos\theta_1 \\ y_e &= d_2 \sin\theta_1 \end{align*} \end{split}\]

速度与加速度

• 速度：

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{x}_e &= -d_2 \sin\theta_1 \cdot \dot{\theta}_1 + \cos\theta_1 \cdot \dot{d}_2 \\ \dot{y}_e &= d_2 \cos\theta_1 \cdot \dot{\theta}_1 + \sin\theta_1 \cdot \dot{d}_2 \end{align*} \end{split}\]

• 加速度：

\[\begin{split} \begin{align*} \ddot{x}_e &= -d_2 \cos\theta_1 \cdot \dot{\theta}_1^2 - 2\dot{d}_2 \sin\theta_1 \cdot \dot{\theta}_1 - d_2 \sin\theta_1 \cdot \ddot{\theta}_1 + \cos\theta_1 \cdot \ddot{d}_2 \\ \ddot{y}_e &= -d_2 \sin\theta_1 \cdot \dot{\theta}_1^2 + 2\dot{d}_2 \cos\theta_1 \cdot \dot{\theta}_1 + d_2 \cos\theta_1 \cdot \ddot{\theta}_1 + \sin\theta_1 \cdot \ddot{d}_2 \end{align*} \end{split}\]

刚体动力学方程

• 动能：

\[ T = \frac{1}{2} m_2 \left( \dot{x}_e^2 + \dot{y}_e^2 \right) \]

• 势能（假设竖直平面）：

\[ V = m_2 g d_2 \sin\theta_1 \]

• 拉格朗日方程：

\[\begin{split} \begin{cases} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = \tau_1 \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{d}_2} \right) - \frac{\partial L}{\partial d_2} = F_2 \end{cases} \end{split}\]

最终形式：

\[\begin{split} \begin{align*} (m_2 d_2^2) \ddot{\theta}_1 + 2 m_2 d_2 \dot{d}_2 \dot{\theta}_1 + m_2 g d_2 \cos\theta_1 &= \tau_1 \\ m_2 \ddot{d}_2 - m_2 d_2 \dot{\theta}_1^2 - m_2 g \sin\theta_1 &= F_2 \end{align*} \end{split}\]

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2. PR型机器人（平移-旋转）

系统描述与坐标系建立

• 关节类型：第一个关节为平移（P），第二个为旋转（R）。

• 坐标系：

  • 基坐标系 \( \{O_0\} \)：原点在底座，\( x_0 \)轴水平。

  • 第一个关节坐标系 \( \{O_1\} \)：沿平移方向移动\( d_1 \)。

  • 第二个关节坐标系 \( \{O_2\} \)：绕平移后的关节旋转\( \theta_2 \)。

位置描述

末端执行器位置：

\[\begin{split} \begin{align*} x_e &= d_1 + L_2 \cos\theta_2 \\ y_e &= L_2 \sin\theta_2 \end{align*} \end{split}\]

速度与加速度

• 速度：

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{x}_e &= \dot{d}_1 - L_2 \sin\theta_2 \cdot \dot{\theta}_2 \\ \dot{y}_e &= L_2 \cos\theta_2 \cdot \dot{\theta}_2 \end{align*} \end{split}\]

• 加速度：

\[\begin{split} \begin{align*} \ddot{x}_e &= \ddot{d}_1 - L_2 \cos\theta_2 \cdot \dot{\theta}_2^2 - L_2 \sin\theta_2 \cdot \ddot{\theta}_2 \\ \ddot{y}_e &= -L_2 \sin\theta_2 \cdot \dot{\theta}_2^2 + L_2 \cos\theta_2 \cdot \ddot{\theta}_2 \end{align*} \end{split}\]

刚体动力学方程

• 动能：

\[ T = \frac{1}{2} m_1 \dot{d}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \left( \dot{x}_e^2 + \dot{y}_e^2 \right) \]

• 势能（假设竖直平面）：

\[ V = m_2 g L_2 \sin\theta_2 \]

• 拉格朗日方程：

\[\begin{split} \begin{cases} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{d}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial d_1} = F_1 \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_2} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_2} = \tau_2 \end{cases} \end{split}\]

最终形式：

\[\begin{split} \begin{align*} (m_1 + m_2) \ddot{d}_1 - m_2 L_2 \sin\theta_2 \cdot \ddot{\theta}_2 - m_2 L_2 \cos\theta_2 \cdot \dot{\theta}_2^2 &= F_1 \\ m_2 L_2^2 \ddot{\theta}_2 + m_2 L_2 \sin\theta_2 \cdot \ddot{d}_1 + m_2 g L_2 \cos\theta_2 &= \tau_2 \end{align*} \end{split}\]

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3. PP型机器人（平移-平移）

系统描述与坐标系建立

• 关节类型：两个关节均为平移（P）。

• 坐标系：

  • 基坐标系 \( \{O_0\} \)：原点在底座，\( x_0 \)、\( y_0 \)轴水平正交。

  • 第一个关节坐标系 \( \{O_1\} \)：沿\( x_0 \)轴平移\( d_1 \)。

  • 第二个关节坐标系 \( \{O_2\} \)：沿\( y_1 \)轴平移\( d_2 \)。

位置描述

末端执行器位置：

\[\begin{split} \begin{align*} x_e &= d_1 \\ y_e &= d_2 \end{align*} \end{split}\]

速度与加速度

• 速度：

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{x}_e &= \dot{d}_1 \\ \dot{y}_e &= \dot{d}_2 \end{align*} \end{split}\]

• 加速度：

\[\begin{split} \begin{align*} \ddot{x}_e &= \ddot{d}_1 \\ \ddot{y}_e &= \ddot{d}_2 \end{align*} \end{split}\]

刚体动力学方程

• 动能：

\[ T = \frac{1}{2} m_1 \dot{d}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 (\dot{d}_1^2 + \dot{d}_2^2) \]

• 势能（假设竖直平面）：

\[ V = m_2 g d_2 \]

• 拉格朗日方程：

\[\begin{split} \begin{cases} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{d}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial d_1} = F_1 \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{d}_2} \right) - \frac{\partial L}{\partial d_2} = F_2 \end{cases} \end{split}\]

最终形式：

\[\begin{split} \begin{align*} (m_1 + m_2) \ddot{d}_1 &= F_1 \\ m_2 \ddot{d}_2 + m_2 g &= F_2 \end{align*} \end{split}\]

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3. PP型机器人（平移-平移，轴线非正交）

系统描述与坐标系建立

• 关节类型：两个关节均为平移（P），轴线方向夹角为θ（θ ≠ 90°）。

• 坐标系：

  • 基坐标系 \( \{O_0\} \)：原点在底座，\( x_0 \)轴水平，\( y_0 \)轴垂直。

  • 第一个关节：沿\( x_0 \)轴平移距离\( d_1 \)，坐标系\( \{O_1\} \)随\( d_1 \)移动。

  • 第二个关节：沿与\( x_0 \)轴夹角为θ的方向平移\( d_2 \)，坐标系\( \{O_2\} \)随\( d_2 \)移动。

位置描述

末端执行器位置由\( d_1 \)和\( d_2 \)共同决定：

\[\begin{split} \begin{align*} x_e &= d_1 + d_2 \cos\theta \\ y_e &= d_2 \sin\theta \end{align*} \end{split}\]

速度与加速度

• 速度：

\[\begin{split} \begin{align*} \dot{x}_e &= \dot{d}_1 + \dot{d}_2 \cos\theta \\ \dot{y}_e &= \dot{d}_2 \sin\theta \end{align*} \end{split}\]

• 加速度：

\[\begin{split} \begin{align*} \ddot{x}_e &= \ddot{d}_1 + \ddot{d}_2 \cos\theta \\ \ddot{y}_e &= \ddot{d}_2 \sin\theta \end{align*} \end{split}\]

刚体动力学方程

假设机器人工作在竖直平面（受重力影响）：

• 动能：

\[ T = \frac{1}{2} m_1 \dot{d}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \left( \dot{x}_e^2 + \dot{y}_e^2 \right)\]

展开后：

\[ T = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{d}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{d}_2^2 + m_2 \dot{d}_1 \dot{d}_2 \cos\theta \]

• 势能：

\[ V = m_2 g y_e = m_2 g d_2 \sin\theta \]

通过拉格朗日方程 \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{d}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial d_i} = F_i \)（\( L = T - V \)），得到：

\[\begin{split} \begin{cases} (m_1 + m_2) \ddot{d}_1 + m_2 \cos\theta \cdot \ddot{d}_2 = F_1 \\ m_2 \cos\theta \cdot \ddot{d}_1 + m_2 \ddot{d}_2 - m_2 g \sin\theta = F_2 \end{cases} \end{split}\]

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关键区别与物理意义

1. 惯性耦合：

   • 当θ ≠ 90°时，方程中出现耦合项 \( m_2 \cos\theta \cdot \ddot{d}_1 \) 和 \( m_2 \cos\theta \cdot \ddot{d}_2 \)，表明两个平移方向的加速度会相互影响。

   • 若θ = 90°，则 \( \cos\theta = 0 \)，方程退化为独立运动：

     \[\begin{split} \begin{cases} (m_1 + m_2) \ddot{d}_1 = F_1 \\ m_2 \ddot{d}_2 - m_2 g = F_2 \end{cases} \end{split}\]

2. 重力影响：

   • 重力仅作用于第二个平移方向的分量 \( m_2 g \sin\theta \)。

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应用场景

1. 非正交导轨机器人：

   • 用于狭小空间或特殊机构中，例如斜轨搬运机器人。

2. 动力学耦合控制：

   • 需要设计解耦控制器以抵消轴线非正交带来的惯性耦合效应。

3. 能量效率优化：

   • 分析θ对能量传递的影响，优化轴线夹角以降低功耗。

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通过调整θ的值，此模型可灵活描述任意轴线夹角的PP型机器人，为特殊构型机器人的设计与控制提供理论支持。

应用领域

1. RP型：用于SCARA机器人或升降旋转复合机构，研究动态负载下的稳定性。

2. PR型：适用于伸缩臂机器人，分析平移与旋转耦合效应。

3. PP型：应用于平面笛卡尔机器人，优化高速运动下的轨迹精度。