scara 分析¶

为了计算 Atom ST620 (SCARA) 机械臂的自由度数目与类型，我们将采用基于旋量理论的方法。该机械臂的构型为 RRRP，这意味着它有三个转动关节（R）和一个移动关节（P）。

1. 机械臂构型分析与假设

RRRP 构型：
- R1：第一个转动关节。
- R2：第二个转动关节。
- R3：第三个转动关节。
- P4：第四个移动关节。
SCARA 特点： SCARA 机械臂通常具有平行于 Z 轴的转动关节，用于在 XY 平面内进行操作，以及一个沿 Z 轴的移动关节进行高度调整。因此，我们假设所有 R 关节的旋转轴都平行于 Z 轴，P 关节的移动轴也平行于 Z 轴。
坐标系设定： 建立一个基坐标系 {0}，其原点位于第一个转动关节 (R1) 处，Z 轴向上。
初始位姿假设： 为简化旋量表示，假设机械臂处于“归位”状态，所有连杆沿 X 轴方向伸展。
- R1 轴：通过点 $(0,0,0)$ 沿 Z 轴方向。
- R2 轴：通过点 $(L_1,0,0)$ 沿 Z 轴方向（$L_1$ 为第一连杆长度）。
- R3 轴：通过点 $(L_1+L_2,0,0)$ 沿 Z 轴方向（$L_2$ 为第二连杆长度）。
- P4 轴：通过点 $(L_1+L_2+L_3,0,0)$ 沿 Z 轴方向（$L_3$ 为第三连杆长度）。

2. 识别独立自由度 (运动旋量)

在旋量理论中，机械臂的自由度由其末端执行器能够实现的独立瞬时运动（扭曲旋量）的数量决定。

R1 和 R2 关节： 两个平行且共面的转动关节 (R1, R2) 共同作用，可以使末端执行器在 XY 平面内实现任意位置和绕 Z 轴的姿态。这提供了 3 个独立的自由度：
- 沿 X 轴的平移 ($T_x$)。
- 沿 Y 轴的平移 ($T_y$)。
- 绕 Z 轴的转动 ($R_z$)。
R3 关节： 由于 R3 关节的轴也平行于 R1 和 R2 关节的轴，且它们都作用于 XY 平面。因此，R3 关节对于末端执行器在 XY 平面内的姿态和位置来说是冗余的，它不会增加新的独立自由度。它只会增加机械臂的运动冗余性，但不会增加末端执行器的可达工作空间维度。
P4 关节： 移动关节 P4 提供了沿 Z 轴的独立平移自由度 ($T_z$)。

综上所述，该 RRRP SCARA 机械臂的末端执行器具有 4 个独立的自由度。

3. 用六元素旋量表示独立运动旋量 (Twists)

我们选择以下 4 个线性独立的单位旋量作为机械臂运动旋量空间的基：

绕 Z 轴的转动 ($R_z$)： $\$_{R_z} = \begin{pmatrix} \mathbf{\omega} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ （角速度向量 $\mathbf{\omega}$ 沿 Z 轴，线速度向量 $\mathbf{v}$ 为 0，因为旋转轴通过原点）
沿 X 轴的平移 ($T_x$)： $\$_{T_x} = \begin{pmatrix} \mathbf{\omega} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ （角速度向量 $\mathbf{\omega}$ 为 0，线速度向量 $\mathbf{v}$ 沿 X 轴）
沿 Y 轴的平移 ($T_y$)： $\$_{T_y} = \begin{pmatrix} \mathbf{\omega} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ （角速度向量 $\mathbf{\omega}$ 为 0，线速度向量 $\mathbf{v}$ 沿 Y 轴）
沿 Z 轴的平移 ($T_z$)： $\$_{T_z} = \begin{pmatrix} \mathbf{\omega} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （角速度向量 $\mathbf{\omega}$ 为 0，线速度向量 $\mathbf{v}$ 沿 Z 轴）

这 4 个运动旋量是线性独立的，它们构成了机械臂末端执行器可实现运动的基。因此，机械臂的运动旋量空间的秩为 4。

4. 识别约束 (Wrenches)

约束是与所有独立运动旋量互易（reciprocal）的力/力矩旋量（wrench）。一个力/力矩旋量 $\$\text{w} = \begin{pmatrix} \mathbf{L} \\ \mathbf{F} \end{pmatrix}$ 与一个运动旋量 $\$ = \begin{pmatrix} \mathbf{\omega} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix}$ 互易的条件是它们的互易积为零： $\$\text{w} \cdot \$ = \mathbf{L} \cdot \mathbf{\omega} + \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} = 0$

我们需要找到所有满足与上述 4 个独立运动旋量互易条件的力/力矩旋量 $\$\text{w} = \begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$。

与 $\$_{R_z}$ 互易： $\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = L_z = 0$ （这意味着不能有绕 Z 轴的力矩）
与 $\$_{T_x}$ 互易： $\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = F_x = 0$ （这意味着不能有沿 X 轴的力）
与 $\$_{T_y}$ 互易： $\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = F_y = 0$ （这意味着不能有沿 Y 轴的力）
与 $\$_{T_z}$ 互易： $\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = F_z = 0$ （这意味着不能有沿 Z 轴的力）

从上述互易条件可知，任何约束旋量 $\$\text{w}$ 必须满足 $L_z=0$，$F_x=0$，$F_y=0$，$F_z=0$。 $\$\text{w} = \begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

其中 $L_x$ 和 $L_y$ 可以是任意值。因此，我们可以识别出两个线性独立的约束旋量：

绕 X 轴的力矩 ($M_x$)： $\$\text{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
绕 Y 轴的力矩 ($M_y$)： $\$\text{w}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

这两个约束旋量是线性独立的。因此，约束旋量空间的秩为 2。

5. 计算自由度数目

机械臂的自由度 $M$ 可以通过以下公式计算： $M = 6 - \text{rank}(\mathbf{W})$ 其中 $\text{rank}(\mathbf{W})$ 是独立约束旋量矩阵的秩。

$M = 6 - 2 = 4$

6. 自由度数目与类型总结

自由度数目： 4
自由度类型：
- 绕 Z 轴的转动 ($R_z$)
- 沿 X 轴的平移 ($T_x$)
- 沿 Y 轴的平移 ($T_y$)
- 沿 Z 轴的平移 ($T_z$)

这些自由度使得 SCARA 机械臂能够在三维空间中进行位置定位，并绕其 Z 轴进行姿态调整，非常适合平面装配和拾取放置任务。