拉格朗日动力学方程（含约束）¶
图片顶部的第一个公式是包含约束力的拉格朗日方程的一种形式：
符号解释:
\( T \): 系统的总动能 (Kinetic Energy)。通常是广义坐标 \( q \) 和广义速度 \( \dot{q} \) 的函数，\( T = T(q, \dot{q}) \)。
LaTeX:
T
\( q \): 系统的广义坐标 (Generalized Coordinates) 列向量。它包含了描述系统位形所需的最少数量的独立或非独立的坐标。
LaTeX:
q
\( \dot{q} \): 系统的广义速度 (Generalized Velocities) 列向量，即 \( \dot{q} = \frac{dq}{dt} \)。
LaTeX:
\dot{q}
\( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} \): 动能 \( T \) 对广义速度 \( \dot{q} \) 的偏导数。这是一个与广义动量相关的向量。
LaTeX:
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}
\( \frac{\partial T}{\partial q} \): 动能 \( T \) 对广义坐标 \( q \) 的偏导数。当动能不仅依赖于速度，还显式地依赖于坐标时（例如在旋转坐标系或变质量系统中），此项不为零。
LaTeX:
\frac{\partial T}{\partial q}
\( \frac{d}{dt} (\cdot) \): 对时间 \( t \) 的全导数。
LaTeX:
\frac{d}{dt}
\( (\cdot)^T \): 向量或矩阵的转置 (Transpose)。注意：在此图中，转置符号 \( ^T \) 应用于偏导数项的方式可能与某些标准教材略有不同，这可能是由于符号约定或推导过程的差异。通常，拉格朗日方程最终会得到一个列向量形式的方程。一种可能的解释是 \( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} \) 和 \( \frac{\partial T}{\partial q} \) 在这里被视为行向量形式的梯度，然后转置为列向量。
LaTeX:
^T
\( C(q, t) = 0 \): 系统的约束方程 (Constraint Equations)。这是一个向量方程，描述了广义坐标之间必须满足的几何或运动学关系。这些通常是完整约束（Holonomic Constraints）。见图右侧的 \( C(q, t) = 0_{n_c \times 1} \)。
LaTeX:
C(q, t) = 0
\( C_q \): 约束方程关于广义坐标 \( q \) 的雅可比矩阵 (Jacobian Matrix)，即 \( C_q = \frac{\partial C}{\partial q} \)。
LaTeX:
C_q
\( \lambda \): 拉格朗日乘子 (Lagrange Multipliers) 列向量。它与约束相关，\( C_q^T \lambda \) 代表了维持约束所需的广义约束力/力矩。
LaTeX:
\lambda
\( C \): 阻尼矩阵 (Damping Matrix)。\( C \dot{q} \) 代表系统中的粘性阻尼力或耗散力。假设是线性的。
LaTeX:
C
\( K \): 刚度矩阵 (Stiffness Matrix)。\( K q \) 代表系统中的弹性恢复力（类似弹簧力），假设是线性的，并且源于某个势能 \( V = \frac{1}{2} q^T K q \)。
LaTeX:
K
\( Q_e \): 广义外力 (Generalized External Forces) 列向量。它包含了所有未被 \( K q \) (保守内力) 和 \( C \dot{q} \) (阻尼力) 以及 \( C_q^T \lambda \) (约束力) 描述的力/力矩，例如驱动力、重力（如果未包含在 \(T\) 或 \(K\) 中）等。
LaTeX:
Q_e
方程的展开与重组¶
接下来的几组公式是对第一个方程进行展开和重新整理：
第二组公式:
新增符号解释:
\( M \): 系统的质量矩阵或惯性矩阵 (Mass Matrix / Inertia Matrix)。它通常是广义坐标 \( q \) 的函数，\( M = M(q) \)，并且是对称正定的。
LaTeX:
M
\( \ddot{q} \): 系统的广义加速度 (Generalized Accelerations) 列向量，即 \( \ddot{q} = \frac{d^2q}{dt^2} \)。
LaTeX:
\ddot{q}
\( \dot{M} \): 质量矩阵 \( M(q) \) 对时间的全导数。由于 \( M \) 是 \( q \) 的函数，根据链式法则，\( \dot{M} = \frac{dM}{dt} = \frac{\partial M}{\partial q} \dot{q} \)。
LaTeX:
\dot{M}
推导关系: 对于典型的机械系统，动能可以写成 \( T = \frac{1}{2} \dot{q}^T M(q) \dot{q} \)。 那么，\( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} = M(q) \dot{q} \)。 其对时间的全导数为 \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} \right) = \frac{d}{dt} (M \dot{q}) = \dot{M} \dot{q} + M \ddot{q} \)。 将此代入第一个公式（并再次假设转置符号 \(^T\) 的作用是得到列向量形式），得到第二组的第一个方程。
\( Q_v \): 定义为科里奥利力/离心力相关的广义力向量 (Generalized forces due to Coriolis and centrifugal effects)。它包含了 \( \dot{M} \dot{q} \) 项和 \( \frac{\partial T}{\partial q} \) 项。注意这里的符号定义 \( Q_v = -\dot{M} \dot{q} + (\frac{\partial T}{\partial q})^T \)。（在许多文献中，科里奥利/离心力项 \( C(q, \dot{q})\dot{q} \) 定义为 \( \dot{M}\dot{q} - \frac{1}{2} \dot{q}^T \frac{\partial M}{\partial q} \dot{q} \)，或者通过克氏符号定义，这里的 \( Q_v \) 定义可能与具体推导有关，特别是 \( (\frac{\partial T}{\partial q})^T \) 项的处理）。
LaTeX:
Q_v
第三组公式:
新增符号解释:
\( Q_{ev} \): 定义的一个等效广义力向量。它将所有非惯性项（\( M \ddot{q} \)）和非约束力项（\( C_q^T \lambda \)）合并到方程右侧。它包括了外部力 \( Q_e \)、科里奥利/离心力 \( Q_v \)，以及阻尼力 \( -C \dot{q} \) 和弹性力 \( -K q \) 的贡献。
LaTeX:
Q_{ev}
这组公式将动力学方程整理成 \( M \ddot{q} + C_q^T \lambda = Q_{ev} \) 的形式，显式地分开了惯性项、约束力项和其他所有力的项。这对于数值求解或控制设计通常很有用。
约束与坐标变换¶
图片右侧的公式涉及约束和坐标的选择：
符号解释:
\( n_c \): 约束方程的数量。
LaTeX:
n_c
\( n \): 广义坐标的总数。
LaTeX:
n
\( q = [q^{1T} \ q^{2T} \ q^{3T}]^T \): 将广义坐标向量 \( q \) 分块。具体含义 \( q^1, q^2, q^3 \) 需要上下文确定，可能代表不同子系统或不同类型的坐标。
LaTeX:
q = [q^{1T} \ q^{2T} \ q^{3T}]^T
\( q_n \): 可能是指完整的 \( n \) 维广义坐标向量（与之前的 \( q \) 相同，只是换了个符号强调维度）。
LaTeX:
q_n
\( q_i \): 独立广义坐标 (Independent Generalized Coordinates) 向量。其数量为 \( n - n_c \)（假设约束是独立的）。
LaTeX:
q_i
\( q_d \): 相关（或从属）广义坐标 (Dependent Generalized Coordinates) 向量。其数量为 \( n_c \)。
LaTeX:
q_d
\( q_n = [q_i^T \ q_d^T]^T \): 将完整坐标向量 \( q_n \) 划分为独立坐标 \( q_i \) 和相关坐标 \( q_d \)。
LaTeX:
q_n = [q_i^T \ q_d^T]^T
\( q_d = f(q_i) \): 对于完整约束，相关坐标 \( q_d \) 可以表示为独立坐标 \( q_i \) 的函数。这个函数关系 \( f \) 由约束方程 \( C(q, t) = 0 \) 隐式定义。
LaTeX:
q_d = f(q_i)
\( \dot{q}_n = B \dot{q}_i \): 完整坐标的速度 \( \dot{q}_n \) 与独立坐标的速度 \( \dot{q}_i \) 之间的线性关系。\( B \) 是一个 \( n \times (n-n_c) \) 的速度变换矩阵（或雅可比矩阵），\( B = \begin{bmatrix} I \\ \frac{\partial f}{\partial q_i} \end{bmatrix} \)。
LaTeX:
\dot{q}_n = B \dot{q}_i
\( B \): 速度/雅可比变换矩阵。
LaTeX:
B
\( \ddot{q}_n = B \ddot{q}_i + \dot{B} \dot{q}_i \): 完整坐标的加速度 \( \ddot{q}_n \) 与独立坐标的加速度 \( \ddot{q}_i \) 之间的关系。注意这里出现了 \( \dot{B} \dot{q}_i \) 项，表示加速度层面的变换不是简单的线性关系。
LaTeX:
\ddot{q}_n = B \ddot{q}_i + \dot{B} \dot{q}_i
\( \dot{B} \): 矩阵 \( B \) 对时间的全导数。
LaTeX:
\dot{B}
这些关系允许将系统的动力学方程从包含 \( n \) 个（可能相关的）广义坐标和 \( n_c \) 个约束方程以及拉格朗日乘子 \( \lambda \) 的形式，转换为只包含 \( n - n_c \) 个独立坐标 \( q_i \) 的、去除了 \( \lambda \) 的最小坐标形式的动力学方程。