第六章 系统稳定性分析

本章学习要点

• 6.1 系统稳定的概念和条件

• 6.2 劳斯 (Routh) 稳定判据

• 6.3 Nyquist 稳定判据

• 6.4 Bode 稳定判据

• 6.5 系统的相对稳定性

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6.1 系统稳定的概念和条件

系统稳定基本概念

系统在初始偏差 (扰动) 的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零 (原始平衡工作点)。否则，系统为不稳定。

• 稳定性反映干扰消失后过渡过程的性质，是系统自身的一种恢复能力，它是系统的固有特性。

6.1.1 系统稳定的基本概念

如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统的状态可能为如下形式：

• 衰减收敛于原平衡状态

  1. 振荡衰减图 (a)

  2. 指数规律衰减图 (b)

• 远离原平衡状态 3. 等幅或发散振荡图 © 4. 按指数规律增加图 (d)

对于图 (a) 与 (b)，当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原平衡状态，称系统是稳定的。 对于图 © 与 (d)，当扰动消失后，系统远离了原平衡状态，则称系统是不稳定的。

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6.1.2 系统稳定性与特征根的关系

在 4.3.2 中，二阶系统的特征方程为：

\[ s^2 + 2\xi\omega_n s + \omega_n^2 = 0 \]

特征方程的根为：

\[ s_{1,2} = -\xi\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\xi^2 - 1} \]

• 阻尼比 \(\xi\) 不同时，二阶系统特征根的形式不同，见表 4.2。

• 二阶系统特征根的形式又决定了系统的响应形式。

• 对于单位脉冲响应 (见 4.3.3 节)

1. 欠阻尼状态 (\(0 < \xi < 1\))

$$ x_o(t) = \frac{\omega_n}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_n t}\sin(\omega_d t) $$

振荡衰减收敛于原平衡状态图 (a)

2. 临界阻尼状态 (\(\xi = 1\))

$$ x_o(t) = \mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2}\bigg] = \omega_n^2 t e^{-\omega_n t} $$

指数规律衰减收敛于原平衡状态图 (b)

3. 过阻尼状态 (\(\xi > 1\)) $\( x_o(t) = \frac{\omega_n}{2\sqrt{\xi^2-1}} \bigg[ e^{-(\xi-\sqrt{\xi^2-1})\omega_n t} - e^{-(\xi+\sqrt{\xi^2-1})\omega_n t} \bigg] \)$ 指数规律衰减收敛于原平衡状态图 (b)

4. 无阻尼状态 (\(\xi = 0\))

$$ x_o(t) = \mathcal{L}^{-1}\bigg[\omega_n \frac{\omega_n}{s^2+\omega_n^2}\bigg] = \omega_n \sin(\omega_n t) $$

等幅振荡远离原平衡状态图 (c)

二阶系统稳定性与特征根的关系总结：

• 当系统特征方程的根全部为负实数特征根和实部为负的复数特征根时，系统是稳定的。

• 当系统特征方程具有正实数特征根和实部为正的复数特征根及实部为零的虚根时，系统是不稳定的。

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6.1.3 系统稳定的充分必要条件

设线性定常系统的微分方程为 (初始状态 \(\neq 0\))：

\[ a_n\frac{d^nx_o(t)}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}x_o(t)}{dt^{n-1}} + \dots + a_1\frac{dx_o(t)}{dt} + a_0x_o(t) = b_m\frac{d^mx_i(t)}{dt^m} + b_{m-1}\frac{d^{m-1}x_i(t)}{dt^{m-1}} + \dots + b_1x_i(t) + b_0x_i(t) \quad (n \ge m) \]

对上式进行拉氏变换，得：

\[ X_o(s) = \frac{M(s)}{D(s)}X_i(s) + \frac{N(s)}{D(s)} \]

其中：

\[ M(s) = b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + \dots + b_1s + b_0 \]

\[ D(s) = a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1s + a_0 \]

\[ \frac{M(s)}{D(s)} = G(s) \quad (\text{系统传递函数}) \]

\[ N(s) \text{ 是与初始条件有关的多项式。} \]

根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的时间响应 (即零输入响应)，取 \(X_i(s) = 0\)，得到：

\[ X_o(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \]

若 \(s_i\) 为系统特征方程 \(D(s) = 0\) 的根 (即系统传递函数的极点，\(i=1, 2, \dots, n\))，且 \(s_i\) 各不相同时，有：

\[ x_o(t) = \mathcal{L}^{-1}[X_o(s)] = \mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{N(s)}{D(s)}\bigg] = \sum_{i=1}^n A_i e^{s_i t} \]

\(A_i\) 是与初始条件有关的系数。

若系统所有特征根 \(s_i\) 的实部 \(\text{Re}[s_i] < 0\)，则零输入响应随着时间的增长将衰减到零，即：

\[ \lim_{t\to\infty} x_o(t) = 0 \]

此时系统是稳定的。

反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随着时间的增长而发散，即：

\[ \lim_{t\to\infty} x_o(t) = \infty \]

此时系统是不稳定的。

若系统特征根具有重根时，只要满足 \(\text{Re}[s_i] < 0\)，有 \(\lim_{t\to\infty} x_o(t) = 0\)，系统就是稳定的。

系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程的根全部具有负实部。系统的特征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传递函数的极点全部位于 \([s]\) 平面的左半平面。

若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位于原点，其余极点均位于 \([s]\) 平面的左半平面，则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处于临界稳定状态。临界稳定系统属于不稳定系统。

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6.2 劳斯 (Routh) 稳定判据

劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程式根与系数的关系建立的。

6.2.1 系统稳定的必要条件

设系统的特征方程为：

\[ D(s) = a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1s + a_0 = 0 \]

\[ D(s) = a_n \bigg( s^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}s^{n-1} + \dots + \frac{a_1}{a_n}s + \frac{a_0}{a_n} \bigg) = 0 \]

\[ D(s) = a_n (s - s_1)(s - s_2)\dots(s - s_n) = 0 \]

式中，\(s_1, s_2, \dots, s_n\) 为系统的特征根。

要使全部特征根 \(s_1, s_2, \dots, s_n\) 均具有负实部，就必须满足以下两个条件：

1. 特征方程的各项系数 \(a_i\) (\(i = 0, 1, 2, \dots, n\)) 都不等于零。

2. 特征方程的各项系数的符号都相同。

必要条件：\(a_i > 0\) (当 \(a_n > 0\) 时)

6.2.2 系统稳定的充要条件

设系统的特征方程为：

\[ D(s) = a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1s + a_0 = 0 \]

将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表：

\(s^n\)	\(a_n\)	\(a_{n-2}\)	\(a_{n-4}\)	\(a_{n-6}\)	\(\dots\)
\(s^{n-1}\)	\(a_{n-1}\)	\(a_{n-3}\)	\(a_{n-5}\)	\(a_{n-7}\)	\(\dots\)
\(s^{n-2}\)	\(A_1\)	\(A_2\)	\(A_3\)	\(A_4\)	\(\dots\)
\(s^{n-3}\)	\(B_1\)	\(B_2\)	\(B_3\)	\(B_4\)	\(\dots\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)
\(s^2\)	\(D_1\)	\(D_2\)
\(s^1\)	\(E_1\)
\(s^0\)	\(F_1\)

其中，\(A_1, A_2, \dots, B_1, B_2, \dots\) 等元素的计算公式为：

\[\begin{split} A_1 = -\frac{\begin{vmatrix} a_n & a_{n-2} \\ a_{n-1} & a_{n-3} \end{vmatrix}}{a_{n-1}} = \frac{a_{n-1}a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}} \end{split}\]

\[\begin{split} A_2 = -\frac{\begin{vmatrix} a_n & a_{n-4} \\ a_{n-1} & a_{n-5} \end{vmatrix}}{a_{n-1}} = \frac{a_{n-1}a_{n-4} - a_n a_{n-5}}{a_{n-1}} \end{split}\]

\[\begin{split} B_1 = -\frac{\begin{vmatrix} A_1 & A_3 \\ A_2 & A_4 \end{vmatrix}}{A_1} = \frac{A_1 A_2 - A_2 A_3}{A_1} \end{split}\]

(此处公式有误，应为 \(B_1 = \frac{A_1 A_3 - A_3 A_1}{A_1}\), 实际上是行列式计算)

劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件为： 劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。

还指出： 劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。

特殊情况：

1. 劳斯表中某一行的第一列 (个) 元素为零，但该行其余元素不全为零。 这时可以用一个很小的正数 \(\varepsilon\) 来代替第一列等于零的元素，然后计算表的其他各元素。

2. 劳斯表中某一行的元素全部为零。 这时可利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯表中的下一行，然后继续进行计算。可通过解由辅助多项式构成的辅助方程得到存在问题的特征根 (多为共轭根、纯虚根)。

示例：

• 二阶系统 (\(n=2\))，特征方程为 \(D(s) = a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0\) 劳斯表：

  \(s^2\)	\(a_2\)	\(a_0\)
  \(s^1\)	\(a_1\)
  \(s^0\)	\(a_0\)
  根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是：\(a_2>0, a_1>0, a_0>0\)。

• 三阶系统 (\(n=3\))，特征方程为 \(D(s) = a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0\) 劳斯表：

  \(s^3\)	\(a_3\)	\(a_1\)
  \(s^2\)	\(a_2\)	\(a_0\)
  \(s^1\)	\(\frac{a_2a_1 - a_3a_0}{a_2}\)	\(0\)
  \(s^0\)	\(a_0\)	\(0\)
  由劳斯判据，三阶系统稳定的充要条件为：\(a_3>0, a_2>0, a_1>0, a_0>0, a_1a_2 > a_3a_0\)。

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6.3 Nyquist 稳定判据

利用系统开环 Nyquist 图，来判断系统闭环后的稳定性，是一种几何判据。

6.3.1 米哈伊洛夫定理

设系统的特征方程为：

\[ D(s) = a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1s + a_0 = 0 \]

\[ D(s) = a_n (s - s_1)(s - s_2)\dots(s - s_n) = 0 \]

\(s_1, s_2, \dots, s_n\) 为系统的特征根。 假设已知根 \(s_i\) 在 \([s]\) 平面的位置，则可以从坐标原点引出 \(s_i\) 和 \(s\) 的向量，\(s\) 和 \(s_i\) 间的连线即向量 \((s - s_i)\)。

令 \(s = j\omega\)，得到特征方程的频率特性：

\[ D(j\omega) = a_n (j\omega - s_1)(j\omega - s_2)\dots(j\omega - s_n) \]

从各 \(s_i\) 点引到 \(j\omega\) 的向量即表示 \((j\omega - s_i)\)。

它的模和相角分别为：

\[ |D(j\omega)| = a_n |j\omega - s_1| |j\omega - s_2| \dots |j\omega - s_n| \]

\[ \angle D(j\omega) = \angle (j\omega - s_1) + \angle (j\omega - s_2) + \dots + \angle (j\omega - s_n) \]

• 如果 \(s_i\) 位于 \([s]\) 平面的左半边，那么 \(\angle (j\omega - s_i)\) 逆时针旋转 \(+\pi\) 角度。

• 如果 \(s_k\) 位于 \([s]\) 平面的右半边，那么 \(\angle (j\omega - s_k)\) 顺时针旋转 \(-\pi\) 角度。

假定 \(n\) 阶特征方程 \(D(j\omega)\) 有 \(p\) 个根在 \([s]\) 平面的右半平面，\((n-p)\) 个根在左平面 \((+\pi)\)，则当 \(\omega\) 从 \(-\infty\) 变到 \(+\infty\) 时，相角变化为：

\[ \Delta \angle D(j\omega) = (n - 2p)\pi \quad (-\infty \le \omega \le +\infty) \]

米哈伊洛夫定理

令 \(s=j\omega\)，得到特征方程：

\[ D(j\omega) = a_n (j\omega)^n + a_{n-1}(j\omega)^{n-1} + \dots + a_1(j\omega) + a_0 = 0 \]

将实部和虚部分开，得 \(D(j\omega) = U(\omega) + jV(\omega)\)。 式中：

\[ U(\omega) = a_0 - a_2\omega^2 + a_4\omega^4 - \dots \]

\[ V(\omega) = a_1\omega - a_3\omega^3 + a_5\omega^5 - \dots \]

由于 \(U(\omega) = U(-\omega)\) 且 \(V(\omega) = -V(-\omega)\)，故 \(D(-j\omega) = U(\omega) - jV(\omega)\)。

由此可知，向量 \(D(j\omega)\) 在 \([s]\) 平面上是关于实轴对称的，所以米哈伊洛夫定理的公式还可以写成：

\[ \Delta \angle D(j\omega) = (n - 2p) \frac{\pi}{2} \quad (0 \le \omega \le +\infty) \]

如果系统是稳定的，它的特征根应全部位于 \([s]\) 平面的左半平面，即 \(p=0\)，上式变为：

\[ \Delta \angle D(j\omega) = n \frac{\pi}{2} \quad (0 \le \omega \le +\infty) \]

6.3.2 Nyquist 稳定判据

开环传递函数为：

\[ G_K(s) = G(s)H(s) = \frac{M_K(s)}{D_K(s)} \]

闭环传递函数：

\[ G_B(s) = \frac{G(s)}{1 + G_K(s)} = \frac{G(s)}{1 + \frac{M_K(s)}{D_K(s)}} = \frac{G(s)D_K(s)}{D_K(s) + M_K(s)} \]

令 \(F(s) = 1 + G_K(s) = \frac{D_K(s) + M_K(s)}{D_K(s)} = \frac{D_B(s)}{D_K(s)}\)。 \(\omega\) 从 0 变到 \(+\infty\)：

\[ \Delta \angle F(j\omega) = \Delta \angle [1 + G_K(j\omega)] = \Delta \angle D_B(j\omega) - \Delta \angle D_K(j\omega) \]

1. 开环稳定的系统 如果开环系统稳定，即开环系统的特征根均在 \([s]\) 的左半平面，根据米哈伊洛夫定理：

\[ \Delta \angle D_K(j\omega) = n \cdot \frac{\pi}{2} \quad (0 \le \omega \le +\infty) \]

这时如果闭环系统稳定，则：

\[ \Delta \angle D_B(j\omega) = n \cdot \frac{\pi}{2} \quad (0 \le \omega \le +\infty) \]

则：

\[ \Delta \angle F(j\omega) = \Delta \angle D_B(j\omega) - \Delta \angle D_K(j\omega) = n \frac{\pi}{2} - n \frac{\pi}{2} = 0 \quad (0 \le \omega \le +\infty) \]

当 \(\omega\) 从 0 变到 \(+\infty\) 时，\(F(j\omega)\) 相角变化为 0，即 \(F(j\omega)\) 的 Nyquist 图不包围原点，则闭环系统稳定。 由于 \(G_K(j\omega) = F(j\omega) - 1\)，所以 \(G_K(j\omega)\) 的 Nyquist 图不包围 \((-1, j0)\) 点，闭环系统稳定。

2. 开环不稳定的系统 设开环系统有 \(p\) 个特征根在 \([s]\) 的右半平面，\((n-p)\) 个根在左半平面。 如果闭环系统稳定，则：

\[ \Delta \angle D_K(j\omega) = (n-2p) \frac{\pi}{2} \quad (0 \le \omega \le +\infty) \]

\[ \Delta \angle D_B(j\omega) = n \frac{\pi}{2} \quad (0 \le \omega \le +\infty) \]

则：

\[ \Delta \angle F(j\omega) = \Delta \angle [1 + G_K(j\omega)] = \Delta \angle D_B(j\omega) - \Delta \angle D_K(j\omega) = n \frac{\pi}{2} - (n-2p) \frac{\pi}{2} = p\pi \quad (0 \le \omega \le +\infty) \]

• 当从 0 变到 \(+\infty\) 时，\(F(j\omega)\) 的 Nyquist 图逆时针方向包围原点 \(p/2\) 次 (1 圈为 1 次)，则闭环系统稳定。

• 即 \(G_K(j\omega)\) 的 Nyquist 图逆时针方向包围 \((-1, j0)\) 点 \(p/2\) 次，闭环系统稳定。

综上所述，可以将 Nyquist 稳定判据表述如下： 如果开环传递函数 \(G(s)H(s)\) 在 \([s]\) 的右半平面有 \(p\) 个极点，当 \(\omega\) 从 0 变化到 \(+\infty\) 时，其开环频率特性 \(G(j\omega)H(j\omega)\) 逆时针方向包围 \((-1, j0)\) 点 \(p/2\) 次，则闭环系统稳定；反之，闭环系统就不稳定。 对于开环稳定的系统，即 \(p=0\)，此时闭环系统稳定的充分必要条件是：系统的开环频率特性 \(G(j\omega)H(j\omega)\) 不包围 \((-1, j0)\) 点。 杨 P177： 从 \(-\infty \to +\infty\) 变化时，\(G(j\omega)H(j\omega)\) 逆时针方向包围 \((-1, j0)\) 点 \(p\) 圈，则闭环系统稳定。

6.3.3 开环含有积分环节的 Nyquist 图

若开环系统中含有积分环节，即有零特征根 (零极点) 时，须要将零极点视为左极点：

1. 左极点构成的因式 \(j\omega - s_1\)，当 \(\omega\) 从 \(0 \to +\infty\) 时，其相角变化量为 \(+90^\circ\)。

2. 零极点构成的因式 \(j\omega\)，当 \(\omega\) 从 \(0 \to +\infty\) 时，其相角始终是 \(+90^\circ\)，变化量为 \(0^\circ\)。

因此，① 和 ② 角度变化量不一致。为使其一致：

• 假设：零极点构成的因式 \(j\omega\) 在 \(\omega = 0\) 时从正轴开始，以无穷小的半径逆时针转至虚轴 \(\omega = 0^+\) 处，之后再随 \(\omega\) 的增加沿虚轴 \(\to +\infty\)。

所以，补充了一个 \(+90^\circ\) 的小圆弧后，零极点构成的因式 \((j\omega - 0)\) 在 \(\omega\) 由 \(0 \to 0^+ \to +\infty\)。相角变化也为 \(+90^\circ\)，则零点相当于左极点。

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6.4 Bode 稳定判据

Bode 稳定判据实际上是 Nyquist 稳定判据的另一种形式，即利用开环系统的 Bode 图来判别闭环系统的稳定性。

根据 Nyquist 稳定判据，若开环控制系统是稳定的，则闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性不包围 \((-1, j0)\) 点。若将 Nyquist 图转换成 Bode 图，两图之间有如下对应关系：

• Nyquist 曲线与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为 \(\omega_c\)。

• Nyquist 曲线与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与 \(-180^\circ\) 线交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率，记为 \(\omega_g\)。

1. Nyquist 图上的单位圆对应于 Bode 图上的 0dB 线，即对数幅频特性图的横轴。单位圆之外对应于对数幅频特性图的 0dB 线之上。

2. Nyquist 图上的负实轴相当于 Bode 图上对数相频特性的 \(-180^\circ\) 线。

“穿越”：开环 Nyquist 曲线在 \((-1, j0)\) 点以左穿过负实轴。 这相当于在 \(L(\omega) \ge 0\) 的所有频率范围内，对数相频特性穿过 \(-180^\circ\) 线。

• 当 \(\omega\) 增加时，开环 Nyquist 曲线从右侧穿过 \((-1, j0)\) 点（正向穿越）。

• 反之为负穿越。

• 当 \(\omega\) 增加时，开环 Nyquist 曲线左侧的负实轴开始向下称（次）负穿越。

对应于 Bode 图，在 \(L(\omega) \ge 0\) 的所有频率范围内，沿 \(\omega\) 增加方向，对数相频特性曲线自下而上穿过 \(-180^\circ\) 线为正穿越；反之为负穿越。若对数相频特性曲线自 \(-180^\circ\) 线开始向上，为半次正穿越；反之为半次负穿越，如图所示。

Bode 稳定判据： 如果开环系统在 \([s]\) 的右半平面有 \(p\) 个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线在 \(-180^\circ\) 线上正负穿越次数之差为 \(p/2\)。 如果开环系统是稳定的，即 \(p=0\)，则在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线不超过 \(-180^\circ\) 线，闭环系统稳定。

Bode 稳定判据也可表述为：

• 若系统是开环稳定的，即 \(p=0\)，则在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线不超过 \(-180^\circ\) 线，则闭环系统稳定。

• 若系统在开环状态下，在 \([s]\) 的右半平面有 \(p\) 个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线在 \(-180^\circ\) 线上正负穿越次数之差为 \(p/2\)。

优点：

1. Bode 图可以采用渐近线方法作出，比较简便。

2. Bode 图的渐近线，可以粗略判别系统稳定性。

3. 在 Bode 图中，可以明确哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而对其中参数进行合理选择或校正。

4. 在调整开环增益 \(K\) 时，只需将 Bode 图中的对数幅频特性曲线上下平移即可，因此很容易看出为保证稳定性所需的增益值。

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6.5 系统的相对稳定性

从 Nyquist 稳定判据可知，若开环为 \(p=0\) 闭环系统稳定：

• 当开环 Nyquist 曲线离 \((-1, j0)\) 点越远，则其闭环系统的稳定性越高；

• 当开环 Nyquist 曲线离 \((-1, j0)\) 点越近，则其闭环系统的稳定性越低。

这是通常所说的系统的相对稳定性。它通过开环 Nyquist 曲线对 \((-1, j0)\) 点的靠近程度来表征，其定量表示为相位裕度 \(\gamma\) 和幅值裕度 \(K_g\)。

6.5.1 相位裕度 \(\gamma\)

在 \(\omega\) 为剪切频率 \(\omega_c (\omega_c > 0)\) 时，相频特性距 \(-180^\circ\) 线的相位差叫做相位裕度。相位裕度也叫相位稳定性储备。

• 对于稳定的系统，\(\gamma\) 必在 Bode 图 \(-180^\circ\) 线以上，这时称为 正相位裕度，即有正的稳定性储备。

• 对于不稳定的系统，\(\gamma\) 必在 Bode 图 \(-180^\circ\) 线以下，这时称为 负相位裕度，即有负的稳定性储备。

因此 \(\gamma = 180^\circ + \varphi(\omega_c)\)。

相应地，在 Nyquist 图中：

• 对于稳定的系统，\(\gamma\) 必在 Nyquist 图负实轴以下。

• 对于不稳定系统，\(\gamma\) 必在 Nyquist 图负实轴以上。

6.5.2 幅值裕度 \(K_g\)

在 \(\omega\) 为相位交界频率 \(\omega_g (\omega_g > 0)\) 时，开环幅频特性 \(|G(j\omega)H(j\omega)|\) 的倒数，称为幅值裕度，记做 \(K_g\)，即：

\[ K_g = \frac{1}{|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|} \]

在 Bode 图上，幅值裕度改以分贝 (dB) 表示为 \(K_g (\text{dB})\)。

\[ K_g (\text{dB}) = 20\lg K_g = -20\lg |G(j\omega)H(j\omega)| \]

• 对于稳定的系统，\(K_g (\text{dB})\) 必在 0dB 线以下，\(K_g (\text{dB}) > 0\)，此时称为 正幅值裕度。

• 对于不稳定的系统，\(K_g (\text{dB})\) 必在 0dB 线以上，\(K_g (\text{dB}) < 0\)，此时称为 负幅值裕度。

在 Nyquist 图上，由于 \(|G(j\omega_g)H(j\omega_g)| = \frac{1}{K_g}\)，所以 Nyquist 曲线与负实轴的交点至原点的距离即为 \(1/K_g\)，它代表在 \(\omega_g\) 频率下开环频率特性的模。对于稳定系统，\(1/K_g < 1\)；对于不稳定系统，\(1/K_g > 1\)。

对于开环稳定的系统：\(G(j\omega)H(j\omega)\) 具有正幅值裕度及正相位裕度时，其闭环稳定；\(G(j\omega)H(j\omega)\) 具有负幅值裕度及负相位裕度时，其闭环不稳定。

在工程实践中，为使系统有满意的稳定性储备，一般希望： \(\gamma = 30^\circ \sim 60^\circ\) \(K_g (\text{dB}) > 6\text{dB}\)，即 \(K_g > 2\)

必须同时考虑相位裕度和幅值裕度两个指标。